「度数法」は古代バビロニアで使われ始めまたというのが定説です．小数が発明される前ですので，多くの整数で割り切れるキリがいい数値は便利だという理由でしょう．
確かに $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ の約数は 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360 で，24個もあります．
そして，我々人類が乗っている地球の1年が約365日であることが大きいと思われます．想像でしかありませんが，もしも地球の1年が122日であればグルっと一周を120度としても問題はなかったはずです．
グルッと一周が360°であるのは**「古代の人にとって都合が良かった」**だけでしょう．
＊正確な歴史を知りたい方は，ネット検索を出発点に書籍にあたってみてください．
一方，弧度法の定義である「円の半径 $$ $r$ と円弧の長さ $s$ の比 $\theta$ 」
$$ \theta = \frac{s}{\ r\ } = \frac{s'}{\ r'\ } = \frac{s''}{\ r''\ } $$
は，言葉さえ通じれば宇宙人とも共有できる角度の指定方法です．
比なので単位は無次元ですが，角度であることを明示するために「rad」と書き，「ラジアン」と読みます．
ここで，グルッと1周の角度は，円周率の定義を思い出して
$$ \theta_\text{1周} = \frac{円周の長さ}{半径} = \frac{\ 2\pi r\ }{r} = 2\pi $$
となります．
グルッと1周は $360^\circ = 2\pi$，その半分は $180^\circ = \pi$ ですから，