【目標】

  1. 半径 $r$ ，角速度 $\omega$ で等速円運動する質点の速度の大きさ $v = r\omega$ を求めることができる．
  2. 半径 $r$，角速度 $\omega$ で等速円運動する質点の加速度の大きさ $a = r \omega^2$ を求めることができる．
  3. 半径 $r$，角速度 $\omega$ で等速円運動する質点に働いている向心力の大きさ $F=ma$ を求めることができる．

【質点の速度・加速度】

【質点の速度】（pp.120-121）

fig08-01_00-01.png

円板全体の円運動に着目した「$\theta = \omega \times t$」を，弧度法の定義式 $\boxed{ \rule[-6pt]{0pt}{24pt} \ \theta = \dfrac{l\text{（円弧長）}}{r\text{(半径)}} \ }$ に代入して

$$ \begin{array}{ccccc} l & = & r & \times & \theta \\ & = & r & \times & (\omega t) \\ & = & \underbrace{ r \omega }_{=v} & \times & t \\ \text{道のり} && \text{速度} && \text{時間} \\ \end{array} $$

$$ \boxed{ \rule[-4pt]{0pt}{14pt} \quad v = r \omega \quad }\\ *\overrightarrow{v\ }の向きは円の接線方向 $$

【質点の加速度】（pp.121-122）

fig08-02_00-02.png

着目する時間を短くしてゆくと，$|\varDelta \vec{v\ }|$ は，半径 $v$，角度 $\omega t$ の円弧の長さにどんどん近づくので，

$$ \begin{align*} a &= \left| \frac{\varDelta \overrightarrow{v\ }}{\varDelta t} \right| \\[10pt] &\sim \frac{\varDelta \left\{ v \times (\omega t) \right\} }{\varDelta t} \\[10pt] &= \left\{\begin{array}{lc} \dfrac{\varDelta (r \omega) \times (\omega t)}{\varDelta t} &= r \omega^2 \\[4mm] \dfrac{\varDelta v \times (\frac{\ v\ }{r} \, t)}{\varDelta t} &= \dfrac{\ v^2\,}{r} \\ \end{array} \right. \end{align*} $$

$$ \boxed{ \rule[-4pt]{0pt}{14pt} \quad a = r \omega^2 = \frac{\ v^2\,}{r} \quad }\\ *\overrightarrow{a\ }の向きは円の中心方向 $$

Q.1 【等速円運動の速度・加速度】

速さ $0.20\,\mathrm{m/s}$ で半径 $2.0\,\mathrm{m}$ の円周上を走っているオモチャの電車がある．次の諸量を求めよ．

**（１）**周期 $T\,\mathrm{[s]}$